\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{五六七}
\title{常微分方程教材题目}

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\begin{document}

\maketitle

\setcounter{tocdepth}{1}
\renewcommand\contentsname{目录}
\tableofcontents

\thispagestyle{empty}

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\clearpage
\setcounter{page}{1} 
\section{第1章：基本概念 }

\begin{enumerate}
\item  什么是微分方程？什么是微分方程的阶？
\item  什么是线性的微分方程？
\item  什么是微分方程的解？什么是微分方程的通解？
\item  求出自由落体的位置 $y$ 关于时间 $t$ 的函数 $y(t)$ 所满足的微分方程，并求出该微分方程的通解。
\item  什么是常微分方程的初值问题？
\item  求双参数函数族 $y=C_1e^x\cos(x)+C_2e^x\sin(x)$ 所满足的微分方程。
\item  求在 $(x,y)$ 平面上过坐标原点的一切圆满足的微分方程。
\item  什么是微分方程 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 的积分曲线？
\item  什么是微分方程的线素场？
\item  作出微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$ 的线素场。
\item  作出微分方程 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ 的线素场。
\item  导出条形磁铁的磁场对应的微分方程，作出这个微分方程的线素场。

\end{enumerate}

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\section{第2章：初等积分法 }

\begin{enumerate}
\item  求解微分方程 $2xy^3dx+3x^2y^2dy=0.$
\item  求解微分方程 $(2x\sin y + 3x^2y)dx + (x^3+x^2\cos y+y^2)dy=0$. 
\item  求解微分方程，并作出积分曲线的草图：$(x^2+1)(y^2-1)dx + xydy = 0. $
\item  求解微分方程，并作出积分曲线的草图：$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}y^{1/3}. $
\item  对物体在空气中的降落与特技跳伞建立微分方程模型并求解。
\item  求解微分方程 $y'(x)+y(x)/x=x^3$.
\item  设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，设 $a>0$, 考虑微分方程 $\frac{dy}{dx} +ay =f(x).$
    \begin{enumerate}
    \item  求这个微分方程的通解。
    \item  为什么通解里有的是周期函数，有的不是周期函数？
    \item  作出微分方程 $y'(x)+2y(x)=\sin x$ 的积分曲线族。
    \end{enumerate}
\item  由电源、电感和电阻组成的串联电路如图所示。求电键闭合后电流强度随时间的变化规律。
\item  求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = f(x+y).$
\item  求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{xy^2+\sin x}{2y}.$
\item  求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}.$
\item  求解伯努利方程 $\frac{dy}{dx} +p(x)y = q(x)y^n. $
\item  求解里卡蒂方程 $\frac{dy}{dx} = x^{-2} + y^2. $
\item  用分组求积分因子的方法，求解微分方程 $(3x^3+y)dx + (2x^2y-x)dy = 0. $
\item  求解微分方程 $(x^3y - 2y^2)dx + x^4dy =0$. 
\item  求解微分方程 $(x+y)dx - (x-y)dy = 0$. 
\item  对人口总数问题建立微分方程模型。
\item  对捕食者与被捕食者的数量建立微分方程模型。

\end{enumerate}

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\section{第3章：存在和唯一性定理 }

\begin{enumerate}
\item  什么是李卜西茲条件？
\item  证明皮卡定理：设二元连续函数 $f(x,y)$ 在矩形区域 $R: |x-x_0|\le a, |y-y_0|\le b$ 内对 $y$ 满足李卜西茲条件。
设该函数在矩形区域 $R$ 内的最大值为 $M= \max \{ f(x,y) \mid (x,y)\in R\}.$
则微分方程初值问题 $$\frac{dy}{dx} = f(x,y),\, y(x_0)=y_0$$ 在区间 $[x_0-h,x_0+h]$ 上存在唯一的一个解函数，这里 $h=\min\{a,b/M\}$. 
\item  考虑初值问题 $\frac{dy}{dx} = F(x,y),\, y(0)=0$, 其中函数 $F(x,y)$ 在矩形区域 $[0,1]\times (-\infty,\infty)$ 分区域定义：
\begin{eqnarray*}
F(x,y) = \left\{\begin{array}{ll}
0, & x=0, -\infty<y<\infty, \\
2x, & 0<x\le 1, -\infty<y<0, \\
2x-4y/x, & 0<x\le 1, 0\le y<x^2, \\
-2x, & 0<x\le 1, x^2\le y<\infty.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item  验证函数 $F(x,y)$ 在该矩形区域内是连续的，但不满足李卜西茲条件。
\item  计算该初值问题的皮卡序列，验证这个皮卡序列是不收敛的。
\end{enumerate}
\item  考虑初值问题 $\frac{dy}{dx} = x+y+1,\,\,y(0)=0$.
\begin{enumerate}
\item  求出解析解 $\varphi(x)$ 并绘制图象。
\item  求出皮卡序列的前五个函数 $y_k(x)$ 并绘制图象。
\item  将区间 $[0,2]$ 等分 $n$ 段，求出欧拉折线 $\phi_n(x)$ 并绘制图像。
\end{enumerate}
\item  什么是一致有界的函数列？什么是等度连续的函数列？什么是 Arzelà-Ascoli 定理？
\item  佩亚诺存在定理与皮卡定理的区别是什么？
\item  举例说明解的延伸定理：设有微分方程 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$, 设函数 $f(x,y)$ 在区域 $G$ 内是连续的。则经过区域 $G$ 内任意一点的积分曲线将在该区域内延伸到边界。
\item  证明微分方程 $\frac{dy}{dx} = x^2+y^2$ 的任一解的存在区间都是有界的。
\item  在平面上任取一点 $P_0(x_0,y_0)$, 证明初值问题 $\frac{dy}{dx} = (x-y)\exp(xy^2), \,\, y(x_0)=y_0$ 的右行解在区间 $[x_0,\infty)$ 都存在。
\item  证明第一比较定理：设函数 $f(x,y)$ 与 $F(x,y)$ 在平面区域内都连续，且满足不等式 $f(x,y)< F(x,y), (x,y)\in G$, 
又设函数 $y=\varphi(x)$ 与 $\Phi(x)$ 分别是初值问题 $E_1$ 与 $E_2$ 的解，其中 $(x_0,y_0)\in G$, 
\begin{eqnarray*}
(E_1): & \frac{dy}{dx} = f(x,y), & y(x_0)=y_0, \\
(E_2): & \frac{dy}{dx} = F(x,y), & y(x_0)=y_0. 
\end{eqnarray*}
则当 $x>x_0$ 时有 $\varphi(x)<\Phi(x)$, 当 $x<x_0$ 时有 $\varphi(x)>\Phi(x)$. 
\item  什么是初值问题的最大解和最小解？
\item  讨论微分方程 $\frac{dy}{dx}=\sin(xy)$ 的解的延伸趋向。
\item  设初值问题 $\frac{dy}{dx} = x^2+(y+1)^2,\,\, y(0)=0$ 的解在右侧的最大存在区间是 $[0,\beta)$, 证明 $\frac{\pi}{4}<\beta<1$. 

\end{enumerate}

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\section{第4章：奇解 }

\begin{enumerate}
\item  记 $p=\frac{dy}{dx}$, 求解克莱罗方程 $y=xp+f(p)$. 特别地，求解 $y=xp-\frac{1}{4}p^2, \,\,\text{ 即 }\,\, 4y + y'^2=4xy'.$
\item  求解微分方程 $x(y')^2-2yy'+9x=0$. 
\item  求解微分方程 $y^2+ \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 =1$. 
\item  用参数法求解微分方程 $\left(\frac{dy}{dx} \right)^2 +y -x=0$. 
\item  什么是奇解？
\item  设函数 $F(x,y,p)$ 对 $(x,y,p)\in G$ 是连续的，而且对 $y$ 和 $p$ 有连续的偏微分 $F'_y$ 和 $F'_p$. 
若函数 $y=\varphi(x),\,x\in J$ 是微分方程 $F(x,y,p)=0$ 的一个奇解，其中 $p=\frac{dy}{dx}$, 并且 $$(x,\varphi(x),\varphi'(x))\in G\,\, (x\in J),$$
证明有如下 $p$-判别式成立：$$F(x,y,p)=0,\,\, F'_p(x,y,p)=0.$$
\item  求微分方程 $x(y')^2-2yy'+9x=0$ 的奇解。
\item  求微分方程 $(y')^2-y^2=0$ 的奇解。
\item  求微分方程 $(y-1)^2(y')^2=ye^{xy}$ 的奇解。
\item  什么是单参数曲线族的包络？
\item  求微分方程 $(y-1)^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{4}{9}y$ 的通积分，画出积分曲线族，求出包络和奇解。

\end{enumerate}

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\section{第5章：高阶微分方程 }

\begin{enumerate}
\item  什么是自治的微分方程？
\item  将自治的二阶微分方程 $y''+yy'=1$ 化为一阶的微分方程。
\item  求解微分方程 $\frac{d^2x}{dt^2}=f(x).$
\item  求解微分方程 $\frac{d^2x}{dt^2} = -x$. 记 $v=\frac{dx}{dt}$, 画出 $(x,v)$ 的相图。
\item  求解微分方程 $\frac{d^2x}{dt^2} = x$. 记 $v=\frac{dx}{dt}$, 画出 $(x,v)$ 的相图。
\item  画出二阶自治微分方程 $\frac{d^2x}{dt^2}=f(x)$ 的相图。
\item  导出单摆方程、求解、画出单摆运动的相图。
\item  导出悬链线满足的微分方程、边界条件、并求解。
\item  研究二体问题。求出地球绕太阳的运动轨迹。
\item  将三阶微分方程 $y'''=F(x,y,y',y'')$ 写成三阶标准微分方程组。
\item  求下述微分方程组（其中的求导均是相对于自变量 $x$ 而言）的阶数，并将其写成标准微分方程组：
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{lcl}
u'' &=& F(x,u,u',v,w,w',w''), \\
v' &=& G(x,u,u',v,w,w',w''), \\
w''' &=& H(x,u,u',v,w,w',w'').
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
\item  写出微分方程的标准形式。
\item  写出线性微分方程的标准形式。
\item  讨论线性单摆方程的解函数对初值和参数的连续依赖性。
\item  研究微分方程的初值问题 $\frac{dy}{dx}=f(x,y,\lambda), y(0)=0$ 的解 $y=\varphi(x,\lambda)$ 对参数 $\lambda$ 的连续可微性。
\item  考虑初值问题 $\frac{dy}{dx} + p(x)y=q(x), y(x_0)=y_0,$ 其中 $p(x),q(x)$ 是连续函数。设解函数为 $y=\varphi(x;x_0,y_0)$. 求这个解函数关于初值 $x_0$ 与 $y_0$ 的偏导数。
\item  设函数 $y=\varphi(x;x_0,y_0,\lambda)$ 是初值问题 $\frac{dy}{dx}=\sin(\lambda xy), y(x_0)=y_0$ 的解。求这个解函数关于初值 $x_0$ 与 $y_0$ 和参数 $\lambda$ 的偏导数。

\end{enumerate}

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\section{第6章：线性微分方程组 }

\begin{enumerate}
\item  设 $a_{ij}(x)$ 和 $f_i(x)$ 都是区间 $a<x<b$ 上的连续函数。证明线性微分方程组的初值问题
$$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} y_1(x) \\ \vdots \\ y_n(x) \end{bmatrix} 
=\begin{bmatrix} a_{11}(x) &\cdots & a_{1n}(x) \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}(x) &\cdots & a_{nn}(x) \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} y_1(x) \\ \vdots \\ y_n(x) \end{bmatrix}
+\begin{bmatrix} f_1(x) \\ \vdots \\ f_n(x) \end{bmatrix}, \,\,
\begin{bmatrix} y_1(x_0) \\ \vdots \\ y_n(x_0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{10} \\ \vdots \\ y_{n0} \end{bmatrix}
$$
在区间 $a<x<b$ 上的解是存在和唯一的。

\item  设 $\vec{y}(x):=( y_1(x), \cdots, y_n(x))^t$ 是 $n$ 个未知函数构成的列向量。
证明齐次线性微分方程组 $$\frac{d\vec{y}}{dx}=A(x)\vec{y}$$ 的解向量（每个解向量有$n$个函数）全体 $\mathcal{S}$ 是一个 $n$ 维向量空间。

\item  什么是齐次线性微分方程组的基本解组？

\item  验证微分方程组
$$\frac{d}{dx} \begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} 
=\begin{bmatrix} \cos^2x & \frac{1}{2}\sin 2x -1 \\ \frac{1}{2}\sin 2x +1 & \sin ^2 x \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix}
$$
的通解为 
$$ \vec{y}:=\begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} 
=c_1\begin{bmatrix} e^x\cos x \\ e^x\sin x \end{bmatrix} 
+c_2\begin{bmatrix} -\sin x \\ \cos x \end{bmatrix} 
=: c_1\vec{y}_1 + c_2\vec{y}_2.
$$

\item  什么是齐次线性微分方程组的基解矩阵？
\item  求解非齐次线性微分方程组的初值问题：
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx} \begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} \cos^2x & \frac{1}{2}\sin 2x -1 \\ \frac{1}{2}\sin 2x +1 & \sin ^2 x \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \cos x \\ \sin x \end{bmatrix},  \hspace{0.3cm}
\begin{bmatrix} y_1(0) \\ y_2(0) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.
\end{eqnarray*}

\item  求齐次线性微分方程组的基解矩阵：
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx} \begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1/x \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix} .
\end{eqnarray*}

\item  设 $A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \end{bmatrix}$, 求 $\exp(A)$. 
\item  设 $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\  0 & 1 \end{bmatrix}$, 求 $\exp(A)$. 
\item  求微分方程组 $\frac{d\vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 的通解，其中矩阵 
$$A=\begin{bmatrix} 5 & -28 & -18 \\  -1 & 5 & 3 \\ 3 & -16 & -10 \end{bmatrix}.$$  

\item  求微分方程组的通解，$$ \frac{d\vec{y}}{dx}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\  -1 & 1 \end{bmatrix} \vec{y}.$$ 

\item  求微分方程组的通解，$$ \frac{d\vec{y}}{dx}=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\  -4 & -1 & 0 \\ 4 & -8 & -2 \end{bmatrix} \vec{y}.$$ 
\item  求微分方程组的通解，$$ \frac{d\vec{y}}{dx}=\begin{bmatrix} -5 & -10 & -20 \\  5 & 5 & 10 \\  2 & 4 & 9 \end{bmatrix} \vec{y}.$$ 
\item  求微分方程组的通解，$$ \frac{d\vec{y}}{dx}=\begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\  0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \vec{y}.$$
\item  将三阶线性微分方程 $$y''' + a_1(x)y'' + a_2(x)y'+a_3(x)y=f(x) $$ 写成一个与之等价的线性微分方程组。
\item  设 $y=\varphi(x)$ 是二阶齐次线性微分方程 $$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$ 的一个非零解，其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是区间 $a<x<b$ 上的连续函数。求该微分方程的通解。
\item  设 $y=\varphi_1(x)$ 和$y=\varphi_2(x)$ 是二阶线性微分方程 $$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$ 的两个线性无关的特解。求该微分方程的通解。
\item  求解微分方程 $y'''-y''-2y'=0$.
\item  求解微分方程 $y^{(5)} -3y^{(4)} +4y''' -4y'' +3y' -y = 0.$
\item  求解微分方程 $y'' +\beta y = f(x),$ 其中 $\beta>0$ 是常数，$f(x)$ 是区间 $a<x<b$ 上的连续函数。
\item  求解微分方程 $y''' +3y'' +3y' +y = e^{-x}(x-5).$
\item  求解微分方程 $y'' +4y' +4y = \cos 2x.$
\item  求解线性微分方程组 
$$\left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& x-5y, \\
\frac{dy}{dt} &=& 2x-y. 
\end{array}\right.$$

\end{enumerate}

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\section{第7章：幂级数解法 }

\begin{enumerate}
\item  称函数 $f(x,y)$ 在平面区域 $G$ 内解析，是指什么？
\item  什么时候称一个级数是另一个级数的优级数？什么时候称一个函数是另一个函数的优函数？
\item  考虑定义在矩形区域 $R_0: |x|< a, \,\, |y|< b$ 中的二元函数 $F(x,y) = \frac{M}{(1-\frac{x}{a})(1-\frac{y}{b})}$.  
证明初值问题 $$\frac{dy}{dx} = F(x,y),\,\, y(0)=0$$ 在区间 $|x|<\rho$ 内存在一个解析解，其中 $\rho=a(1-\exp(-b/2aM)).$
\item  证明柯西定理：如果函数 $f(x,y)$ 在矩形区域 $R: |x-x_0|<\alpha, |y-y_0|<\beta$ 上可以展开成收敛幂级数，则存在正数 $M,a,b$ 使得初值问题
$$\frac{dy}{dx} = f(x,y),\,\, y(x_0)=y_0$$
在领域 $|x-x_0|<\rho$ 内存在唯一的解析解，其中 $\rho=a(1-\exp(-b/2aM))$. 
\item  什么是微分方程 $A(x)y''+B(x)y'+Q(x)y=0.$ 的奇点？
\item  用幂级数方法求解 Airy 方程 $y''=xy, \,\, -\infty<x<\infty$. 
\item  求 Airy 方程 $y''=xy$ 在 $x=1$ 附近的幂级数解。 
\item  求勒让德方程 $(1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0$ 在原点附近的幂级数解。
\item  验证勒让德函数系在区间 $[-1,1]$ 上是相互正交的。
\item  求微分方程 $x^2y''-2y=0$ 在奇点 $x=0$ 附近的解。
\item  求解微分方程 $x^2y''+xy'+(x^2-1/4)y=0$ 在奇点 $x=0$ 附近的解。
\item  讨论微分方程 $x^2y'' +(3x-1)y'+y=0$ 在奇点 $x=0$ 附近存在幂级数解的可能性。
\item  什么是微分方程 $A(x)y''+B(x)y'+C(x)y=0$ 的正则奇点？
\item  求解贝塞尔方程 $x^2y'' + xy' + (x^2-n^2)y = 0$, 其中常数 $n\ge 0$. 
\item  验证贝塞尔函数系 $J_n(\beta_1t),J_n(\beta_2t),\cdots J_n(\beta_nt),\cdots $ 在区间 $0\le t\le 1$ 上的正交性质。

\end{enumerate}

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\section{第8章：定性理论 }

\begin{enumerate}
\item  什么是相空间？什么是相图？
\item  什么是自治的微分方程组 $\frac{d{\vec{x}}}{dt} = f(\vec{x})$ 的平衡点？奇点？
\item  什么是动力系统？
\item  什么是李雅普诺夫稳定性和渐近稳定性？
\item  设质点在平面运动。设它在点 $(x,y)$ 的速度仅与它所在的位置坐标 $(x,y)$ 有关，关系式为
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& -y + x(x^2+y^2-1), \\
\frac{dy}{dt} &=& x + y(x^2+y^2-1). \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
分析这个微分方程组的相图中的奇点与轨线。
\item  使用李雅普诺夫第二方法分析上一题的零解的稳定性。
\item  在实数范围内，二阶矩阵的相似标准形是什么？

\item  平面线性动力系统 $\vec{x}'(t)=A\vec{x}$ 的零解，根据矩阵 $A$ 的不同，有哪些不同的相图？
\item  作出平面动力系统在原点附近的相图：
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& 2x+3y, \\
\frac{dy}{dt} &=& 2x-3y.\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
\item  作出平面动力系统在原点附近的相图：
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& 3x, \\
\frac{dy}{dt} &=& 2x+y.\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}


\end{enumerate}


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\section{第9章：边值问题 }

\begin{enumerate}
\item  举例验证施图姆比较定理：设有两个齐次线性微分方程
\begin{eqnarray}
y'' + p(x)y' +q(x)y &=& 0, \label{eq-9-1}\\ 
y'' + p(x)y' +r(x)y &=& 0. \label{eq-9-2}
\end{eqnarray}
其中函数 $p(x),q(x),r(x)$ 在区间 $J$ 上是连续的。
设不等式 $q(x)\le r(x)$ 对 $x\in J$ 成立。
设 $y=\varphi(x)$ 是方程 (\ref{eq-9-1}) 的一个非零解，并设 $x_1<x_2$ 是 $\varphi(x)$ 的两个相邻的零点。
设 $y=\psi(x)$ 是方程 (\ref{eq-9-2}) 的任意非零解。
则存在 $\psi(x)$ 在区间 $[x_1,x_2]$ 中存在零点。

\item  求边值问题
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{l}
y'' + \lambda y =0, \\
y(0)=0, y(\ell)=0,
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
的特征值和相应的特征函数。

\item  求边值问题
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{l}
y'' + \lambda y =0, \\
y(0)+y'(0)=0, y(1)=0. 
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
的特征值和相应的特征函数，验证特征函数系是相互正交的。

%\item  验证施图姆-刘维尔边值问题的特征函数系的正交性质。

\end{enumerate}

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\section{第10章：首次积分 }

\begin{enumerate}
\item  举例说明首次积分的含义和作用。求解微分方程组
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt} &=& -y + x(x^2+y^2-1), \\
\frac{dy}{dt} &=& x + y(x^2+y^2-1). \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
找出两个独立的首次积分。

\item  通过寻找首次积分，求解微分方程组
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\alpha\frac{du}{dt} &=& (\beta-\gamma)vw, \\
\beta\frac{dv}{dt} &=& (\gamma-\alpha)uw, \\
\gamma\frac{dw}{dt} &=& (\alpha-\beta)uv, \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\item  验证首次积分的一个充分必要条件。
微分方程组
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\frac{du}{dt} &=& f(t,u,v), \\ 
\frac{dv}{dt} &=& g(t,u,v).
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
有首次积分 $\Phi(t,u,v)=C$ 的充分必要条件是 
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\Phi}{\partial t} + \frac{\partial\Phi}{\partial u}f + \frac{\partial\Phi}{\partial v} g = 0.   
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}


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\section{第11章：一阶偏微分方程 }

\begin{enumerate}
\item  求解一阶线性偏微分方程
\begin{eqnarray*}
(x+y)\frac{\partial f}{\partial x} - (x-y)\frac{\partial f}{\partial y} = 0. 
\end{eqnarray*}

\item  求解一阶线性偏微分方程
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\sqrt{x}\frac{\partial f}{\partial x} + \sqrt{y}\frac{\partial f}{\partial y} +z\frac{\partial f}{\partial z} &=& 0. \\ 
f(x,y,1) &=& xy. 
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\item  求解一阶线性偏微分方程
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\sqrt{x}\frac{\partial f}{\partial x} + \sqrt{y}\frac{\partial f}{\partial y} &=& f(x,y). \\ 
f(1,y) &=& \sin(2y). 
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\item  求偏微分方程 $x\frac{\partial z}{\partial x} - y\frac{\partial z}{\partial y} = z$ 的积分曲面，
使得它通过初始曲线 $$x=t, y=3t, z=1+t^2,$$ 这里 $t>0$ 为参数。 

\end{enumerate}

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\end{document}

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